---

Текст:

Эта статья — попытка извлечь некоторые выводы в отношении понятия «истина» как оно используется в классической логике. Вопрос этот назрел в связи с тремя пунктами, которые последовательно выстроятся в некоторую траекторию рассуждения.

Отправной точкой стал момент третьей части работы Любовь ко всему в наши дни, которую мы прочли небольшой группой, благодаря Марии Есипчук и совместно с ней, и в которой Ж.-М. Вапперо предлагает в качестве самостоятельного упражнения, с опорой на модифицированную логику и отчуждающее vel¹, записать высказывание Декарта: «я мыслю, следовательно, существую», которое Лакан прочитывает как «там, где я есть, я не думаю, а там, где я думаю, меня нет».

Кажется вполне логичным, что первое, что напрашивается быть записанным, — это фраза «мыслю, следовательно, существую» так, «как она слышится», используя язык классической логики:

(a ⇒ b)

Такая запись позволяет зафиксировать содержание, но этого недостаточно. За скобками остаётся факт того, что это не просто высказывание в логическом смысле, а высказанное кем-то, т. е., кроме содержания, здесь имеет место и акт.

Забывание этого вызывает у логиков и у всех логикой интересующихся своего рода головокружение, порождая неразрешимые парадоксы, подобные высказыванию «я лгу». Если некто лжец и говорит «я лгу», то он говорит истину, значит он не лжец, а если он не лжец, то истиной должна быть фраза «я лгу», которая говорит, что он лжец, и так по кругу.

В качестве попытки пригвоздить это движение предложим запись:

(A ⇔ 0),

в которой заглавной буквой «А» мы обозначим субъекта. Это «некто», произносящий высказывание. Важно отметить, что такая запись носит неформальный характер, так как субъект не может иметь значение истины или лжи.

Пусть k — это высказывание, которое произносит субъект А. При использовании условных обозначений ситуация, в которой некто произносит «я лгу», записывается так:

(k ⇔ (A ⇔ 0))

На первый взгляд кажется, что здесь нет никаких проблем, до тех пор, пока мы не заключаем, что если А — не лжец, то (k ⇔ 1), а если А — лжец, то (k ⇔ 0). То есть (A ⇔ k).

Путём подстановки получаем запись

(k ⇔ (k ⇔ 0)),

которая является эквивалентной такой записи (k ⇔ ᄀk), что, очевидно, является противоречием.

На самом деле, проблема обнаруживается ещё раньше, и даже если не брать во внимание, что проведение различия между заглавными и строчными буквами является неформальным, здесь обнаруживается путаница в использовании логикой (логиком) истины как значения и истины как чего-то, что только и может быть записано и отсылает к метаязыку. Учитывая, что в классической логике предусмотрены правила «производства истин», всё, что может быть предъявлено, — это истина (как тезис, знак «⊦»). Следуя принятому заранее списку аксиом, вечных истин конкретной теории (в данном случае классической логики), и правилам вывода, мы можем «выводить» из аксиом истинные суждения. Такие суждения помечаются знаком «⊦», относящемуся к метаязыку. Субъект классической логики всегда говорит истину (в смысле тезиса, «⊦») или молчит. Молчит подобно тому, как логик в процессе решения может обнаружить, что выдвинутое ранее предположение ложно, стирает его, так как в логике пишутся только истины (тезисы).

Применяя знак «⊦», ситуацию парадокса неформально можно было бы записать так:

(⊦ «Я лгу»)

Используя наше обозначение, мы можем прочитать это сначала с кавычками и заменить высказывание на k, (⊦k). Затем кавычки снять и прочитать высказывание без кавычек, как (k ⇔ 0). Мы получаем два высказывания, которые не могут быть истинными одновременно.

Таким образом, фраза «я лгу» не может быть произнесена в классической логике, и, видимо, поэтому её произнесение может вызывать у некоторых небольшое головокружение.

Всё сказанное — попытка уловить и показать разницу между заглавной буквой (введённой нами) и строчной, актом и содержанием, истиной как «1» и истиной как «⊦».

Следующим пунктом станет попавшаяся в книге логика Реймонда Смаллиана Вовеки неразрешимое задачка, решая которую я столкнулся с рядом проблем, преодолеть которые без введения следующей записи невозможно:

(A ⇔ «суждение»)

как способ записать «А сказал *суждение*». Автор, при всей неформальности этого
подхода, также пользуется этим приёмом.

Задачка, о которой пойдёт речь, приводится практически в самом начале, когда Смаллиан объясняет основные логические коннекторы. Она является способом ввести читателя в смысл импликации («если…, то…»).

Представьте остров Рыцарей и Плутов. Рыцари всегда говорят правду, Плуты всегда лгут. Из разобранного выше мы также знаем, что есть такие фразы, которые на этом острове, существующем в рамках классической логики, никогда не будут произнесены.

Задача проста: на основании высказывания одного из жителей необходимо сделать вывод о том, кем является он, Рыцарем или Плутом, а также его жена.

Житель острова произносит: «Если я — Рыцарь, то моя жена — тоже Рыцарь».

Попробуйте предположить, возможно ли только по этим данным определить, кем являются муж и жена в этой задаче?

Как, в сущности, можно записать условия? Используя разные обозначения, мы могли бы получить, например, такую запись:

(n ⇒ k)

Или такую:

((A ⇔ 1) ⇒ (B ⇔ 1))

В обоих случаях нет никакой определённости, пока мы не узнаем, кем является говоривший, Рыцарем или Плутом. Попробуем разобраться.

Пусть n — высказывание «муж — Рыцарь»,

k — высказывание «жена — Рыцарь».

Можно сделать ещё один ход: (n ⇒ k) — высказывание мужа, а значит если муж — Рыцарь, то значение этого высказывания 1, и высказывание n, которое и говорит, что муж — Рыцарь, тоже имеет значение 1.

Если муж — Плут, то значение этого высказывания 0, как и значение n.

Получаем следующую эквивалентность:

(n ⇔ (n ⇒ k))

Запишем таблицу истинности для этого высказывания:

Является ли полученный результат основанием, чтобы сказать, что задача решена? Похоже, он больше озадачивает, так как не до конца ясно, что происходит при различных значениях n и k.

Ход, который делается далее, основан на стирании различия, которое мы пытались провести, разбирая парадокс лжеца. Логик обращает наше внимание, что высказывание состоялось. Мы же обратим внимание на то, что житель этого острова — субъект классической логики. Факт того, что он произнёс: «Если я — Рыцарь, то моя жена — тоже Рыцарь», ставит перед этим высказыванием знак «⊦».

(⊦ «Если я — Рыцарь, то моя жена — тоже Рыцарь»)

(⊦ «n ⇒ k»)

⊦ (n ⇔ (n ⇒ k))

Таким образом, логик указывает (похоже, ему ничего другого не остаётся) на последнюю строчку таблицы истинности, получая ответ. Житель острова с необходимостью Рыцарь и его жена тоже Рыцарь, а все остальные варианты на этом острове просто невозможны, непроизносимы.

Попытаюсь последовательно воспроизвести объяснение решения этой задачи, как её предлагает сам автор, и указать на тот момент, где, на мой взгляд, происходит небольшой сбой.

Автор рассуждает. Предположим, житель острова — Рыцарь. В таком случае сказанное им будет истиной. Из этого мы можем заключить, что жена жителя должна быть Рыцарем. Это повторяет содержание суждения жителя, который говорит буквально: «если я Рыцарь, то моя жена тоже Рыцарь». Значит, житель — Рыцарь и его жена — Рыцарь.

Запишем по порядку:

Обозначим буквой P — жителя, который говорит, и буквой Q — его жену.

1. Предположим, P — рыцарь: (P ⇔ 1)

2. Тогда сказанное им — истина: ((P ⇔ 1) ⇒ (Q ⇔ 1)) ⇔ 1)

3. В таком случае жена должна быть Рыцарем: (Q ⇔ 1)

Перед тем, как записать четвёртый шаг его рассуждения, давайте запишем первые три
шага, опустив часть «⇔ 1», так как её вполне допустимо сократить.

1. P

2. (P ⇒ Q)

3. Q

4. Данная последовательность рассуждения, после которой автор заключает, что получаемый вывод повторяет содержание высказывания жителя, записывается так:

⊦ (P Λ (P ⇒ Q)) ⇒ Q)

И это выражение действительно оказывается истинным в смысле «⊦».

Согласно таблице истинности, это выражение истинно при любых значениях P и Q, а значит тот, кто его произносит, должен быть Рыцарем.

Указание на то, что эта ситуация дублирует правило вывода — Modus Ponens — правило классической логики, позволяющее из истинных утверждений и аксиом выводить истинные утверждения, автор не делает.

При этом предположение о том, что P — Рыцарь, создаёт циклическое движение, которое существует и поддерживается путаницей между истиной как «1», когда в первом шаге мы предполагаем, что житель — Рыцарь. И завершается, когда мы подходим к истине как «⊦», замечая, что сказанное — истинно всегда.

Правило вывода же гласит:

Если выводимо A и выводимо (A ⇒ B), то и B выводимо.

⊦ A, ⊦ (A ⇒ B)

⊦ B

Проскальзывающий в рассуждении знак «⊦», остаётся незамеченным, но приводит к тому, что логик замыкает рассуждения в цикл и выводит, что житель острова с необходимостью Рыцарь и его жена тоже Рыцарь.

Эта путаница долгое время делала решение этой задачи для меня ускользающим. Раз записав его, я возвращался несколько раз в недоумении, как у меня получился результат и как он получился у автора. Эта ситуация и была вынесена в заголовок статьи и названа «неудобством классической логики».

В книге приведённая задачка обозначена как проблема 3. Автор указывает, что эта проблема «имеет далеко идущие более тонкие следствия», и после представленного решения обозначает её как частный случай Теоремы 1. Теоремы, которая гласит, что если в пространстве классической логики субъект говорит, «если я говорю правду, то р», где p — любое высказывание, то с необходимостью этот субъект говорит правду и значение p — истина.

Вывод получается довольно забавным, ведь мало того, что ни один Плут острова классической логики не может сказать «я лгу», ни один Плут не может сформулировать фразу вида «если быть честным, то…». Лжецы на этом острове получаются довольно добропорядочными (или молчаливыми).

Человека, проходящего анализ, нельзя упрекнуть в отсутствии этого качества, но всё же его добропорядочность проявляется иначе. Здесь мы подходим к заключительному пункту, где запись (a ⇔ (a ⇒ b)) фигурирует как находка, без которой продвижение по этому пути было бы невозможным.

В качестве находки эта запись позволяет уловить момент, где прерывается движение невротика навязчивости. Примером станет движение, которое было предпринято анализантом в возрасте около 10 лет. Движение заключалось в том, чтобы забраться в одной точке на бетонный забор, пройти его до конечной точки так, как ходят по бордюру или поребрику, и спуститься в другой точке. Оказавшись ровно по середине этого отрезка, испытав головокружительное замешательство, анализант принимает решение прервать движение и спрыгнуть, «соскочить» с забора на землю. Произошедшее является иллюстрацией фразы: «если я решусь, я это сделаю»: (a ⇒ b), произнесённой самому себе: (a ⇔ (a ⇒ b)).

Вероятно, именно наблюдение за тем, как регулярно происходит, что те, кто, по мнению самого анализанта, не обладали особенными умениями, на движение решались, стало толчком к тому, чтобы подобную попытку предпринять. Но оказавшись в ловушке (a ⇔ (a ⇒ b)), которая не допускает сомнения, ничего не остаётся, кроме как «соскочить». Такое прерывание согласно свидетельству, поведанному в ходе анализа, осуществлялось и позднее в разных сферах деятельности, где ключом к успеху казалась именно решительность, которая вызывает в невротике навязчивости небезосновательное подозрение и вынуждает этот «первый шаг» предпринять.

Можно предположить, что в случае истерии к подобной записи существует не столько подозрение, сколько недоверие, и подобного движения в ней не происходит. Тот способ рассуждения, который обычно относят к так называемой «женской логике», похоже, владеет знанием, недоступным невротику навязчивости, о том, что относимое к Невозможному в действительности не является нереальным.

Решение задачи про Рыцарей и Плутов

Задача

Мы находимся на острове, где живут Рыцари и Плуты. Рыцари всегда говорят правду, а плуты всегда лгут. Житель острова произносит: «Если я — Рыцарь, то моя жена — тоже Рыцарь». Необходимо узнать, кем он является и кем является его жена.

Решение

1. Пусть n — высказывание «я — Рыцарь», k — высказывание «моя жена — Рыцарь».
Тогда фразу «Если я — Рыцарь, то моя жена — тоже Рыцарь» можно записать через
импликацию:

n ⇒ k

2. Если фразу «n ⇒ k» произносит Рыцарь, то она будет истинной, если её произносит плут, то она будет ложной.

3. Пусть фразу произносит Рыцарь. Тогда мы в ситуации, когда «n ⇒ k» — истинно. Можно заметить, что одновременно истинно n, потому что в данной ситуации фраза «Я — рыцарь» является правдой в силу того, что говорит Рыцарь.

Если бы фразу «Если я — Рыцарь, то моя жена — тоже Рыцарь» произносил плут, то она была бы ложной: «n ⇒ k» — ложно. Можно заметить, что одновременно ложным стало бы высказывание n, то есть высказывание «Я — рыцарь», потому что в данном случае её говорил бы плут.

4. Из пункта 3 мы получаем теорему, ну, или тезис, который говорит, что кто бы ни произносил фразу «Если я — Рыцарь, то моя жена — тоже Рыцарь», то есть фразу, которую мы записали как «n ⇒ k», независимо от того, лжёт он или нет, её значение будет эквивалентно значению произнесённой им фразы n, то есть значению фразы «Я — рыцарь». Таким образом, для каждого жителя будет верной эквивалентность двух фраз:

n ⇔ (n ⇒ k)

Ещё раз повторим этот вывод: кто бы ни говорил нам фразу (n ⇒ k), независимо от того, ложная она или истинная, её значение должно совпасть со значением фразы n, произнесённой им же. Другими словами, если «Я» из фразы «Я — рыцарь» считать тем же самым «Я», которое произнесло сейчас всю фразу, то есть фразу: «Если я — Рыцарь, то моя жена — тоже Рыцарь», то значение этих фраз должно быть одинаковым.

5. Итак, независимо от значения фразы «(n ⇒ k)», которое может быть как истинным, так и ложным (зависит от того, кто её произносит), мы установили закон «n ⇔ (n ⇒ k)», то есть указали фразу, которая всегда должна быть истинной. Теперь мы можем проверить, при каких условиях, то есть при каких конкретных значениях n и k фраза «n ⇔ (n ⇒ k)» действительно истинна. То есть, ещё раз: на нашем острове она должна быть истинной всегда, а это могут обеспечить только определённые значения входящих в её состав элементов, что и будет использовано нами для решения задачи. Чтобы узнать интересующие нас конкретные значения, запишем таблицу истинности фразы «n ⇔ (n ⇒ k)»:

6. Мы видим, что только в последней строчке таблицы фраза «n ⇔ (n ⇒ k)» истинна, то есть получает значение 1. Другими словами, только одна строка из четырёх подходит для ситуаций нашего острова, потому что мы доказали, что на нём фраза «n ⇔ (n ⇒ k)» всегда должна быть истинной. Но что нам говорит четвёртая строка? Она говорит, что обеспечить истинность фразы «n ⇔ (n ⇒ k)» мы можем только тогда, когда значения n и k являются истиной (=1). Из этого следует, что фразу «Если я — Рыцарь, то моя жена — тоже Рыцарь», с необходимостью равную по значению фразе «Я — Рыцарь», произносит рыцарь, жена которого тоже является рыцарем. Другие ситуации невозможны, потому что в них значение фразы «(n ⇒ k)» не совпадает со значением «n», а такое совпадение, как мы показали в пункте 4), обязательно должно быть. Таким образом, задача решена.

1. В XI семинаре Лакан на примере выбора «кошелёк или жизнь» показывает существование коннектора отчуждающее vel. Ситуация, которую этот коннектор позволяет записать, выражается в том, что, оказавшись мы перед выбором «кошелёк или жизнь», ни то, ни другое мы не получим. Выбрав кошелёк, лишишься всего, выбрав жизнь, жизнь окажется обрезанной. ↩︎