Текст:

Рене Гитар, 1947 г. — математик, доктор наук и профессор Парижского университета VII Дени Дидро, известный специалист в области теории категорий, написал около семидесяти статей по этой теме. Автор книги «Математическая пульсация» (L’Harmattan, 1999), в которой он проанализировал творческий жест математического субъекта. Предложил зеркальную логику, которая расширяет интуиционистскую логику, адаптированную к анализу заблуждений (equívocos) дискурса и того, что не является сказанным. Его работы как математика относятся к использованию и изобретению методов алгебраической топологии в логике, как философа — к теории субъекта. В обоих случаях в основе исследований лежит вопрос двусмысленности.

Столь известную (и уже набившую оскомину) лаканистам борромееву конструкцию Рене Гитар представляет в несколько неожиданном свете.

Первая траектория — как автор артикулирует геометрический, не топологический, аспект борромея. Фактически, предлагая рассматривать традиционную форму репрезентации узла Bo как анаморфозу.

Такая точка зрения открывает нам дорогу в область паранепротиворечивых геометрий (трибар), теорий множеств и логик¹, расширяя владения Лакана до передовых рубежей науки.

Это также (через GL₁₆₈, плоскость Фано, квартику Клейна etc.), способствует тому, чтобы увязать Bo с RP², реконструировав схемы стадии зеркала в конструкциях самых поздних семинаров.

Вторая траектория — дальнейшее изучение отображения борромеевой структуры в область булевых алгебр, пропозициональной логики и различных ее топологических модификаций².

В частности, мы рекомендуем читателям обратить внимание на следующую статью автора³ и вообще на движение, основанное Жаном-Ивом Безье⁴.

Ну и, наконец, третья траектория, которая на первый взгляд может показаться несущественной, может стать основной — это хлесткий выпад Гитара в сторону Лакана — от топологии к логотопии.

Кому-то эта перестановка может показаться упрощением или даже оскорблением, но все ровным счетом наоборот — речь здесь идет о том, как пространственная форма влияет на речь, и шире (и здесь мы уже в поле психического по преимуществу) как соотносятся пространство, речь и память⁵.

Таким образом, мы вплотную подходим к вопросу устройства матем, их отличию от формул математики и других, конкурирующих диаграмматических методов⁶, их функциям и способам производства.

---

Мы снабжаем перевод дополнительными иллюстрациями, чтобы сделать предмет разговора более наглядным.

Следом за текстом Рене Гитара идет текст, в котором мы обогащаем конструкцию Гитара конструкцией Лакана / Вапперо / Бронникова⁷.

---

Жак Лакан с настойчивостью говорит о психоанализе посредством схем, которые можно назвать математико-логическими; некоторые из них можно прочесть логически, как в случае анализа логического времени или при анализе четырех дискурсов, а другие — топологически, используя теорию узлов.

Это не одно и то же, Лакан старательно разделяет математику и логику.

Лакан не является математиком в том смысле, что не собирается заниматься доказательством новых теорем. Между тем, он полностью логик, и его наследием в этой области является изобретение совершенно оригинального метода анализа дискурсов, а именно, тройное борромеево удерживание вместе регистров Реального, Символического и Воображаемого, R, S и I. И эта ведущая линия его логики становится заметна посредством топологических эффектов.

Поэтому именно на борромейскости, которая в известной степени свидетельствует о невозможном, должна основываться логика, порядок речи субъектов; или, как выразился Лакан, именно такими грубыми мазками должна быть запечатлена логика в качестве альтернативы смыслу.

Кроме того, важно, и я хочу сосредоточить на этом здесь внимание, выйти за рамки топологии борромея и сконструировать схему в рамках логики в должном смысле, даже, я бы сказал, алгебру, буквально чистую функцию борромейскости, не оставаясь на уровне метафоры.

Речь идет об успешном возвращении интуиции борромеева взгляда в порядок логики, где она [интуиция — прим. пер.] могла бы тогда успешно действовать.

Таким образом, мне хотелось бы иметь возможность не только утверждать, что поле речи геометрически «подобно» борромеевому зацеплению трех колец R, S и I, но и пойти дальше, предположив, что оно буквально обусловлено борромейскостью, что оно само есть борромеев объект в регистре логики, который я буду называть борромеевой логикой.

Но тогда, если топология оказывается заключена в скобки, что же является чисто борромеевым объектом?

Борромеево зацепление, о котором говорит Лакан: невозможная троица⁸

Во время семинара Лакана 12 марта 1974 года на доске было изображено три сцепления. Третье из них похоже на это, на нашем первом рисунке.

Только позже он прибавит к нему букву a, которую мы тоже сразу добавим. Первый комментарий Лакана заключается в том, чтобы спросить, почему бы не воспользоваться этим, чтобы должным образом подойти к вопросу о трёх измерениях.

Под этим я подразумеваю: стянутое — как невозможное для взгляда или расцепления [défaire], или другого; и это ставит вопрос о том, что невозможно, то есть, согласно терминологии Лакана, о том, что реально.

По моему мнению, при попытке прочтения, Реальное, прежде всего, будет пониматься как физико-геометрическое, даже если это нужно лишь для того, чтобы указать на другого с той стороны, где субъекты представляют себя в качестве субъектов речи.

Более того, Лакан скажет, что в этом и заключается логика: логика речи? логика бессознательного (будто ему не знакома логика в чисто классическом смысле этого слова)?

В любом случае, я бы допустил, что это было бы логикой, касающейся психоаналитиков в их практике. Небольшая конструкция, в которой три, не два круга — Реальное, Символическое, Воображаемое — обозначаются как R, S и I; таким образом, это была бы парадоксальная структура объекта а желания, которую психоаналитики использовали бы в своей практике — быть стянутым и заключенным в этом месте [в пересечении трех колец — прим. пер.].

Я вернусь к этой мысли в заключении. Но для начала мы должны распознать в этом проблему письма, — тогда вопрос состоит в том, чтобы записать с помощью букв алгебры, что за парадоксальный логический узел таким образом вырисовывается: что в нем поддается подсчету, а что нет.

В другом месте Лакан предлагает еще один вариант, ставший афишей этого коллоквиума⁹ , на котором мы заняты той же проблемой.

Следы этой фигуры на картинах уже давно встречаются в христианском богословии как изображение божественной Троицы.

Троица читается сначала «обычным» образом в Троице, Престоле Благодати Роберта Кампена в XIV-м веке, затем она читается с небольшой странностью (после трех одинаковых лиц, скрещенных взглядов) в иконе Троицы Андрея Рублева (около 1411 г.), и затем, откровенно говоря, как парадокс (его смысл и есть парадокс), на нашем рисунке 2, здесь представляющем триединое.

Чтение этого [рис. 2] не совсем эквивалентно прочтению первого [рис. 1], равно как и прочтению афиши нашего коллоквиума — давайте же сейчас это и проверим.

Это Триединое также называют борромеевым зацеплением, или просто борромеем, а также, иначе, «кольцами Борромео», в честь семьи Борромео из Милана, которая широко использовала их повсюду в своих домах. Ранее оно фигурировало уже примерно в X веке и даже немного раньше на фаллических стелах¹⁰ в скандинавских странах в виде фигуры из трех соединённых треугольников на жертвенной сцене, символизирующей смерть. Эту фигуру часто можно встретить и по сей день.

Диана де Пуатье сделала борромей своей эмблемой — в виде трех полумесяцев, размещенных таким образом. Сегодня мы можем лицезреть ее на полу собора Святого Петра в Галликанту в Иерусалиме (1924) [457, 628, 1102,1219, 1924 — перестраивалась].

Здесь мы принимаем во внимание как близкую соображениям Жака Лакана, эту фигуру триединого — в качестве завершенной формы физико-геометрического парадокса, в качестве проявления логического парадокса, предоставленного нам для скрупулезного изучения.

Доказательство невозможного

Невозможное изображено и предоставлено взгляду на многих картинах Рене Магритта, из которых мы остановимся на картине Блан-Сен 1965 года, где всадница проезжает сквозь подлесок.

Будучи спрятанной за деревьями, она, со своей лошадью, легко может находиться перед одним из деревьев, оставаясь, тем не менее, сокрытой своеобразным пространством (промежутком между этим и следующим деревом). Великолепная картина. Такую же невозможность можно найти в Водопаде (1961) у Маурица Корнелиса Эшера, где река ниспадает, течет по желобу, а затем приходит к начальной точке, с которой падала.

Эти два примера относятся к т. н. «ошибочному» чертежу, ядром которого является трибар, изобретенный и продвигаемый, в частности, Оскаром Рейтерсвардом, Лайонелом и Роджером Пенроузами (рис. 3). Модель из трех деревянных балок выглядит еще более эффектно (рис. 4).

Важно понять, что здесь выступает невозможным: кажется невозможным, чтобы в трёхмерном пространстве существовало тело, трибар которого был бы изображением, правильным с точки зрения перспективы представлением; необходимо составить чертёж, анализирующую эту странность. На трибаре мы видим три непараллельные плоские грани, потому что они пересекаются по две по линиям, каждая из которых имеет силуэт буквы «L», мы поименуем их A, B, C.

Имеется в виду следующий геометрический факт: в трёхмерном пространстве три непараллельные плоскости пересекаются в одной точке. Но здесь это невозможно, потому что если A и B пересекаются по L, B и C по M, C и A по N, то три линии L, M и N должны пересечься в этой единственной точке, принадлежащей трём плоскостям, и ясно, что это не так, точка пересечения L и M не находится на прямой N и т. д. В этом мы находим подтверждение невозможному, о котором идет речь. [рис. 3a]

При желании сделать такую конструкцию вполне возможно, но я опущу здесь детали, объясняя, как можно создать такое искажённое изображение; идея состоит в том, что оно построено через неправомерное соединение трёх совершенно нормальных частей (трех «углов»), что в научных терминах анализируется путем вычисления ко-гомологий¹¹ (Роджер Пенроуз указывает на такую возможность¹²). Тогда невозможность снова доказуема тем фактом, что вычисление на рисунке дает инвариант, который не равен 0, тогда как он должен быть равен 0.

Этот обзор трибара, которым Лакан, впрочем, не занимался, поможет нам понять борромеево невозможное.

Одно невозможное может сокрыть другое

Говоря точнее, я хотел бы продемонстрировать, что некая странность может сокрыть невозможное, которое само по себе скрывает возможное.

Итак, давайте теперь вернемся к борромею, чтобы понять заложенное в нем невозможное. В самом деле, триединое, изображение
которого воспроизведено выше, имеет одну видимую странность, которая заключается в том, что три круга соединяются вместе, но не два по два. В конце-концов, рисунок показывает, что эта странность возможна, речь идет не о продемонстрированной невозможности, а, напротив, геометрическом «решении» чего-то априори невозможного, того, что невозможно осуществить или вообразить; по крайней мере, для некоторых — но вот оно, тут как тут. Поэтому я и именую это странностью. Выходит, данный образ Бога странен, но возможен как конструкция, которая делает «одного»¹³ из трех лиц. Первый факт.

Но вот второй факт. Эта очаровывающая нас странность скрывает истинную невозможность того же порядка, что и в случае с трибаром, доказательство которой я вам приведу. Действительно, рисунок намекает на то, что кольца являются настоящими круглыми кольцами; но невозможно, чтобы в пространстве можно было расположить три настоящих круглых кольца так, чтобы они держались борромеевым образом, и a fortiori невозможно, чтобы существовало
три круглых кольца, дающих начало предлагаемой репрезентации. Итак, я заявляю следующее:

Борромеевых колец не существует.

Если мы допустим, что кольца имеют эллиптическую форму, то это будет уже другой случай и вполне реализуемый; при условии, что в нашем распоряжении мягкие кольца — что еще проще сделать с помощью веревок — кольца, подобные тем, с которыми работают любители манипуляций с зацеплениями (вернее даже будет сказать, что они работают с окружностями — окружностями мягкими и эластичными, простыми, без разрывов, отвечающими геометрии из каучука) — а не жесткие круглые кольца.

Таким образом, триединое, если рассматривать его с точки зрения того, что явно просматривается в нем, в конечном итоге также предлагает образ невозможного объекта и, следовательно, представляет Бога как само невозможное — поскольку мы считаем, что для совершенства Бога каждый из этих «компонентов» получает строгую форму совершенного круглого кольца. Таким образом, Бог «подсознательно» воспринимается как невозможное, то есть как сам принцип реального.

Вот доказательство того, что я установил в январе 2011 года, сказав о невозможном¹⁴.

Первым шагом является рассмотрение того, что мы рассуждаем о пластинках с выпуклыми краями, для которых допускаются непрерывные деформации, но только в пределах их категории плоских выпуклых окружностей¹⁵ [bord convexes], без пересечения краев, в то время как внутренние поверхности пластинок могут проникать друг в друга.

Для двух таких пластинок существуют три существенных относительных положения, тогда как для топологических мягких колец их только два: «расцепленный» [dissociés] или «зацепленный» [enlacés].

Теперь есть третий случай, который я называю «вовлеченным» [engagés]. Эти случаи соответствуют схемам на нашем рисунке 5.

Тогда ключевая лемма, в чем легко убедиться (на этом коллоквиуме я приводил ее в соответствие с таблицей), такова: если у нас есть три выпуклые пластинки, и если две извлечены, то система из трех не удержится и может быть полностью расцеплена [défaire]¹⁶.

Однако, мы можем легко построить модель из трех эллипсов, один за другим вовлекаемых по кругу, как на рис. 6.

Таким образом, завершение доказательства состоит в том, чтобы сначала напомнить, что степень точки C относительно окружности 1 равна произведению CP.

CQ = P(C, 1), где P и Q находятся на окружности, а P, C и Q выровнены по прямой D, проходящей, следовательно, через C (это произведение не зависит от прямой D, проходящей через C, это характерное свойство окружности); и затем сказать, что если бы эти три эллипса были окружностями, то, рассматривая общую точку C на трех плоскостях трех окружностей (как это было сделано для трех плоскостей в анализе трибара) и вычислив мощность этой точки относительно трех окружностей, мы бы, как мы видим, имели на нашем рисунке 6
и из-за обязательств 1 в 2, 2 в 3 и 3 в 1:

P(C, 1) < P(C, 2) < P(C, 3) < P(C, 1)

Что невозможно.

Наконец, третий факт. Если мы еще более внимательно посмотрим на фигуру [три]единого, мы увидим, что плоскости трех кругов предполагаются параллельными друг другу, и тогда невозможность очевидна и ясна, являются ли они настоящими кругами или нет, поскольку первая плоскость находится перед второй, которая находится перед третьей, которая, в свою очередь, находится перед первой — и эта циркулярность [circularité] является невозможной [рис. 6a].

Эта невозможность в условиях предполагаемого параллелизма, таким образом, скрывает [oblitère] более глубокую другую, которую я только что доказал.

Наконец, мы можем задаться вопросом, можно ли в конечном итоге, несмотря ни на что, увидеть три кольца, как на фигуре Триединой Троицы, для трех эллипсов в пространстве в борромеевой конфигурации; в этом случае толщина проецируемых колец не будет одинаковой с точки зрения перспективы, если только эллиптические кольца не будут точно равными, а будут иметь варьируемую толщину [рис. 6b].

Другими словами, рисунок Единого вполне может в конечном итоге представлять собой изображение реального борромеева устройства, но это устройство не будет состоять ни из настоящих колец, ни из настоящих эллипсов; однако, этот рисунок не невозможен; было бы интересно записать это уравнениями.

Теперь давайте перейдем к доказательству первого факта, странности Борромео, заключающейся в том, что его невозможно расцепить [défaire]. Для этого были использованы научные аргументы (произведение Масси, число Милнора), другой, несколько менее сложный, заключается в вычислении фундаментальной группы дополнения в трехмерном пространстве борромеева зацепления. По методу Дена это особенно просто, и рассматриваемая группа формируется из трех генераторов (образующих), обозначенных r, s и i, и таких, что заданы следующие соотношения:

rir^-1sr = srs^-1is = isi^-1ri.

«Хорошо проделанная» работа затем убедила бы нас, что эта группа обязательно содержит более одного элемента (после выполнения сокращений), и тогда мы были бы уверены, что зацепление не является «тривиальным», то есть оно держится.

Но есть одно совершенно элементарное доказательство (возможно, вдохновленное вычислением квандлов¹⁷), обнаруженное Олли Наньесом в 1993 году, и вот оно¹⁸.

Если мы обозначим (рис. 7) зацепленные дуги на плоскости целыми числами по модулю 3, по крайней мере, две из которых различны, так, чтобы на каждом пересечении мы имели:

тогда такая маркировка возможна после любого движения Рейдемейстера, следовательно, для любого представления «одного и того же» зацепления. Следовательно, маркировка возможна для любого зацепления, разделяемого как минимум на две нити, и невозможность маркировки зацепления, таким образом, доказывает неразделимость, способность держаться у указанного зацепления.

В случае с борромеем маркировка совершенно невозможна: было бы необходимо по модулю 3 иметь

a + a’ = 2c’ = 2c, b + b’ = 2a’ = 2a, c + c’ = 2b’ = 2b,

что подразумевало бы

a = a’ = b = b’ = c = c’,

— что не может быть двух различных элементов [элемента, отличного от нейтрального — прим. пер.].

Борромеева логика?

Исчисление высказываний борромео будет исчислением высказываний, «проиндексированных» тремя точками зрения в отношении борромео друг к другу, так что игры этих индексаций и их вариаций позволят «разорвать» [rompre] парадоксы, такие как, например, отрицание [парадоксы типа Лжец — прим. пер.]. Такая борромеева логика — это случай зеркальной логики [logique spéculaire], а также подвижной логики [logique mobile]. В этих логиках принципиально важно логически верно учитывать определенные изменения в логике (правила расположения предложений). Случай Борромео, который нас здесь интересует, совершенно особенный, поскольку он строится как изображение в поле классической логики того, что борромеево зацепление дает увидеть в поле геометрии. Я раскрыл эти понятия в двух статьях в 2005 и 2009 года в Тетрадях по топологии и категориальной дифференциальной геометрии, а простейший случай, относящийся к четырехзначному исчислению, подробно описан в другой статье, опубликованной в 2011 году в журнале Logica Universalis¹⁹.

Чтобы вкратце представить идею конструкции, которая на самом деле является 8-значной и полная форма которой, как и в случае с четырьмя значениями, будет опубликована позже, давайте начнем с вписывания борромея на сферу с тремя ручками (рис. 8). Аналитическая модель сферы с тремя ручками — это поверхность Клейна [рис. 8а] заданная уравнением

X(7) ={[x : y: z] \∈ P2(C); x3y + y3z + z3x = 0}.

Группа автоморфизмов этой Римановой поверхности — единственная «простая» группа, состоящая из 168 элементов, обозначенная G₁₆₈, одной из моделей которого также является группа GL₃(F₂), которая, в свою очередь, является группой наименьшей трехмерной геометрии, поэтому набор трех измерений в этом объекте является наиболее ограниченным. Это отсылает нас к комментарию Лакана от 12 марта 1974 года о борромее.

Что тогда оказывается возможным и о чем подробно рассказывается в моей статье 2009 года, так это как найти в этой группе три конкретных элемента, которые мы отмечаем как r, s и i, которые делают эту группу борромеевым объектом в категории групп (понятие борромеева объекта уточняется здесь в последнем разделе).

Затем мы можем использовать r, s и i для определения восьмизначной борромеевой логики, связав с r, s и i изоморфные, но различные булевы логики на одном и том же множестве из 8 элементов, «борромеева» смесь которых дает рассматриваемую борромееву логику (т. е., технически говоря, борромеев объект в категории Пост-Мальцевских²⁰ алгебр).

Все это явно вычисляется в 8-элементном теле²¹ Галуа.

Эта борромеева логика, как я уже говорил выше, является примером зеркальной логики [logique spéculaire], и о ней вы найдете несколько более старые статьи, которые я публиковал в 1990-х годах.

Исчисление борромея

Таким образом, важным в предыдущем абзаце является пассаж о том, чем является «борромейство» начиная с его геометрического выражения и заканчивая его выражением в логике.

Что переходит от регистра видения и связанной с ним интуиции к регистру изречения [dire] и его нотации в буквенной игре. На самом деле, в самих вычислениях также присутствует борромейство, в том числе в вычислениях, которые не подпадают под выражение в логике.

Так, например, приведенное выше вычисление Наньеса выполняется на троичном повороте в некотором смысле самого борромея, на буквах a, b, c, a’, b’, c’.

Исторически очень важным является пример начального исчисления теории эллиптических функций, где для начала следует установить рассмотрение трех функций R, S и I, таких, что производная каждой является произведением двух других (что определяет дифференциальную борромееву алгебру):

R’ = SI, S’ = IR, I’ = RS.

Конечно, эти три функции не обозначались буквами R, S и I, и, например, три функции, введенные Нильсом Хенриком Абелем как обратные к трем случаям, рассматриваемым Пьером-Мари Лежандром для эллиптических интегралов, и которые проверяют эти условия до условий стандартизации, были очень хорошо отмечены φ, f, F. Этот пример не лишен смысла, если учесть, что вся физика XIX века находит в нем свои явные решения.

И в качестве последнего примера (который на самом деле не имеет ничего общего с примером эллиптических функций, поскольку эллиптические функции позволяют решать уравнения пятой степени) я предлагаю вам решение следующей системы уравнений:

x = a + yz, y = b + zx, z = c + xy.

Мы можем исключить два неизвестных, распутать систему трех неизвестных, и тогда появится третье как решение уравнения пятой степени. Выполнив все расчеты я получаю:

x5 − ax4 − 2×3 + (2a − bc)x2 +(1 − b2 − c2) x − (a + bc) = 0

y5 − by4 − 2y3 + (2b − ca)y2 + (1 − c2 − a2) y − (b + ca) = 0

z5 − cz4 − 2z3 + (2c − ab)z2 + (1 − a2 − b2) z − (c + ab) = 0

Понятие объекта Борромео, функция объекта а

Я предполагаю, что абстрактная идея борромеева объекта в определенной категории математических объектов и морфизмов между этими объектами состоит в следующем. Объект B, снабженный данными трех подобъектов R, S и I, такими что: частное от B на R изоморфно сумме I и S, пусть частное от B на S изоморфно сумме R и I, пусть частное от B на I изоморфно сумме S и R — что отражено на рисунке 9.

Если мы посмотрим на простейший случай этого определения, а именно на борромеевы объекты в категории множеств, то это точно соответствует множеству, разделенному на три непересекающиеся части, что показано на рисунке 10. там мы узнаем конкретное представление логического шестиугольника, введенного Августином Сесматом и Робертом Бланше в продолжение логического квадрата Аристотеля-Аппулея. В этом случае Борромей определяется его компонентами, но, конечно, в целом, учитывая три компонента, будет несколько неизоморфных способов сделать его борромеевым, как в случае с зацеплениями.

Если мы посмотрим на борромеево зацепление через игру фундаментальных групп, то борромейскость зацепления соответствует борромейскости фундаментальной группы ее дополнения, то есть тому факту, что она представляет собой борромеев объект в категория групп, что, очевидно, следует из формул, которые мы привели для ее конструирования.

Опять же, группа G₁₆₈ — борромеева, связанная с ней система булевых логик — борромеева (в категории пост-Мальцевский алгебр, как уже указывалось).

В заключении

Лакан использовал борромея и некоторые другие узлы, в силу их формы, в качестве геометрического обозначения определённых правил, он обращался с ними топологически, деформируя их и задаваясь вопросом, держаться ли узлы, или же нет. Но, строго говоря, он, похоже, не настаивал на том, чтобы самому доказать с их помощью математические истины, оставив эту задачу своим друзьямматематикам, которых он привлек для этой цели. Тем не менее, из личных архивов нам известно о том, что он и сам создавал довольно сложные чертежи узлов.

Я бы сказал, что Лакан действительно использовал диаграммы зацеплений в своем учении не топологическим образом, следуя подходу, который я назвал логотопией²² [logotopie], — он издавна существовал до Киршнера и Лейбница — что означает «место для дискурса», тогда как топология означает «дискурс для места».

В логотопии речь идет о том, чтобы взять диаграмму в качестве грамматической формы и вписать в нее ключевые слова нашей речи.

Логотопист верит в грамматическую функцию поддающихся классификации диаграмм. Таким образом, Лакан разместил на борромее в разных областях термины: а в области, общей для всех трех окружностей; смысл, JA , JФ — в областях, общих для окружностей две по две; и буквы R , S, I у самих этих окружностей, etc — что и произвело осмысленное теоретическое высказывание в силу самого факта взаимного расположения терминов.

Конечно, то, что поддержка [речи, терминов — прим. пер.] является «невозможной», делает значение более содержательным [prégnant], как в литературном письме, где значение обусловлено тем, что нечто всегда ускользает из грамматики; но здесь мы находимся на втором этаже: сама грамматика рискует ускользнуть.

Настоящий борромей, принадлежащий к семейству Борромео, будучи изображенным как триединое (рис. 2), сначала указывает на странность того, что его невозможно расцепить, в то время как три составляющих не держатся попарно — ощущение еще не виданного, как и должно быть, если оно представляет нечто божественное или же смерть.

Но, кроме того, из-за своей пространственной жесткости он раскрывает невозможность того, чтобы это изображение, представляло собой тело, состоящее из настоящих круглых колец, и еще, к сожалению, исключительную возможность того, что оно, однако, представляет собой реальное трехмерное тело;

Лакан не дает представления, когда делает конструкцию (рис. 1) при помощи мягких нитей. Рисунок 1 похож на извлеченное из рисунка 2 характерное свойство, остальная часть которого, таким образом, опущена, так что Лакан рассматривает только борромеево зацепление в топологическом смысле для логотопического использования.

Первое стирание осуществляется с борромео как с триединым, хотя это может быть незаметно, освобождая его от пространственной жесткости, мысля его исключительно в поле топологических объектов.

Затем можно освободить топологическую борромейскость от самой топологии, сохранив в качестве приоритета борромейскость — какой она предстает перед нашим взором, а затем и в сознании — роль определяющего фактора, даже вне геометрического поля, со стороны как логики, так и исчислений, абстрактной функции борромеего объекта (в математическом смысле этого слова «объект»), который я определил выше. Это новое понятие, освобожденное от топологии, позволяет строго организовать с помощью классических доказательств, а также новых теорем и исторических примеров, — скольжение от геометрической интуиции к тому, что мы видим в борромее, в сторону высказываний и логики, что будет лучше, чем делать это посредством обращения к метафоре.

Таким образом, я заключаю, что Лакан делает с борромеем следующее: помещает букву a в его «постороннее» центральное пересечение, что означает, что математический объект борромео, как я его определяю, это, конечно, не сам объект a, но математическая функция объекта а (в значении слова «объект» в психоанализе Лакана). Отсюда эта функция распределяется на различные категории, объекты которых может содержать в себе математика.

1. Chris Mortensen. Inconsistent Geometry (Studies in Logic). Inconsistent Mathematics (Mathematics and Its Applications, 312) 1995th Edition. ↩︎
2. Расева, Е.; Сикорский. Математика метаматематики; Р.; Изд-во: М.: Наука / c. 113 ↩︎
3. Rene Guitart A Hexagonal Framework of the Field F4 and the Associated Borromean / Logic Log. Univers. 6 (2012), 119–147 ↩︎
4. https://www.uni-log.org/
   https://www.jyb-logic.org/ ↩︎
5. Френсис Йейтс. Искусство памяти / НЛО, 536 с. ↩︎
6. Боброва А.С. Диаграмматические теории (Дж. Венн, Ч.С. Пирс) и логическое следование. Учебно-методическое пособие. М.: Всероссийская академия внешней торговли, 2018. ↩︎
7. А. С. Бронников. В качестве послесловия / Узел. ↩︎
8. Мы оставляем классическое значение слов l’entrelacs borroméen исходя из того, что Рене
   Гитар профессиональный математик и логик; не психоаналитик. ↩︎
9. Lacan et les mathématiques, 9 et 10 février 2011 / Université de Rouen ↩︎
10. Стура-Хаммарский и Тёнгельгордский камни. ↩︎
11. Cм. видео Романа Михайлова «ко-гомологии нулевые» (Группы и теория гомотопий (трэш трейлер)). https://youtu.be/mqAf5lOJZew ↩︎
12. Roger Penrose. On the Cohomology of Impossible Figures ↩︎
13. Мы не знаем, различает ли Гитар вослед Лакану единого и одного. Поэтому мы оставляем
    вариант перевода «un» как одного без этого различения. ↩︎
14. Rene Guitart A Hexagonal Framework of the Field F4 and the Associated Borromean / Logic
    Log. Univers. 6 (2012), 119–147 ↩︎
15. Convexe — множество с выпуклым краем, выпуклое множество. ↩︎
16. В другой презентации Рене Гитар говорит о дегенерации или распаде системы из трех ↩︎
17. В теории узлов известна конструкция так называемого квандла, позволяющая строить точные инварианты узлов. Квандл — алгебраическая структура с одной бинарной операцией, удовлетворяющей трем аксиомам. Эти аксиомы кодируют движения Рейдемейстера на диаграмме узлов. По любому узлу некоторым образом строится квандл, который называется фундаментальным квандлом. ↩︎
18. Ollie Nanyes. An Elementary Proof that the Borromean Rings are Non-Splittable / The American Mathematical Monthly. Vol. 100, No. 8 (Oct., 1993), pp. 786-789 (4 pages). Published By: Taylor & Francis, Ltd. ↩︎
19. Rene Guitart A Hexagonal Framework of the Field F4 and the Associated Borromean /Logic Log. Univers. 6 (2012), 119–147 ↩︎
20. Эмиль Пост — американский математик и логик; один из основателей многозначной логики.
    Анатолий Мальцев — советский математик, основоположник сибирской школы алгебры и логики, один из создателей универсальной алгебры, в частности, одним из первых применил методы математической логики к алгебраическим системам.
    Подробнее: Итеративные алгебры Поста. Мальцев А. И., Мальцев И. А. ↩︎
21. Речь идет о таких математических структурах как кольцо, поле и тело. ↩︎
22. начиная с софистов и далее с Раймона Луллия.
    Подробнее: Френсис Йейтс. Искусство памяти / НЛО, 536 с )
    Jacques le Sophiste. Lacan, logos et psychanalyse. Paris, Epel, 2012. ↩︎